纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是某种 数学证明措施 ,常用于证明命题(命题是对某个大大问题的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了许多许多领域(比如数学分析)的基础,许多许多数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法某种 非常简单。原因分析分析分析许多人不必证明某个命题对于自然数n都成立,那末:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下里面的五个 步骤。它们实际上原因分析分析分析,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。许多,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,许多人选者n的倒下会原因分析分析分析n + 1的倒下,许多推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

许多人来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(你你这一 公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,都要算出1到3000的累加,要能回家。于是高斯想出了里面的措施 。天才都要被逼出来的么?)

许多人的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,许多命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    那末,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。许多,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

许多,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指五个 计算机守护线程调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求守护线程有五个 要能达到的终止条件(base case)。比如下面的守护线程,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在守护线程中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。不必得到f(n),都要计算f(n-1);不必f(n-1),都要计算f(n-2)……直到f(1)。原因分析分析分析许多人原因分析分析分析知道了f(1)的值,许多人就能那末填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的守护线程实现。使用递归设计守护线程的事先,许多人设置base case,并假设许多人会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,许多人只关注初始和衔接,而不都要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据结构实现的。正如许多人里面所说的,计算f(n),都要f(n-1);计算f(n-1),都要f(n-2)……。许多人在寻找到f(1)事先,会有许多空缺: f(n-1)的值哪些? f(n-2)的值是哪些? …… f(2)的值是哪些?f(1)的值是哪些? 许多人的第五个 大大问题是f(n)是哪些,结果,你你这一 大大问题引出下五个 大大问题,再下五个 大大问题…… 每个大大问题的解答都依赖于下五个 大大问题,直到许多人找到第五个 能那末回答的大大问题: f(1)的值是哪些?

许多人用栈来保存许多人在探索过程中的大大问题。C语言中,函数的调用原因分析分析分析是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,许多许多很自然的,递归用栈来保存许多人的“大大问题” 。

许多人假设栈向下增长。首先,许多人调用f(3000),那末当执行到

return f(n-1) + n; 

f(3000)暂停执行,并记录当前的请况,比如n的值,当前执行到的位置。时候调用f(99),栈增加五个 frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

许多返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(3000),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(3000)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,要能那末自行手动实现栈。许多许多 能那末得到更好的运行强度。

总结

数学归纳法

递归

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